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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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6. Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
d) f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}

Respuesta

Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊

1) El dominio de la función es R\mathbb{R} (ese denominador nunca es cero!)

2) Calculamos f′(x)f'(x) y f′′(x)f''(x)

Usamos regla del cociente:

f′(x)= (1+x2)−x⋅2x(1+x2)2= 1−x2(1+x2)2 f'(x) = \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

Para volver a derivar aplicamos de nuevo regla del cociente:

f′′(x)=(1+x2)2⋅(−2x)−(1−x2)⋅2(1+x2)(2x)(1+x2)4 f''(x) = \frac{(1+x^2)^2 \cdot (-2x) - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4}

Lo reacomodamos un poquito:
f′′(x)=−2x(1+x2)2−4x(1−x2)(1+x2)(1+x2)4 f''(x) = \frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}

3) Igualamos f′′(x)f''(x) a cero para encontrar los puntos de inflexión

−2x(1+x2)2−4x(1−x2)(1+x2)(1+x2)4=0\frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = 0

−2x(1+x2)2−4x(1−x2)(1+x2)=0-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2) = 0

Saco factor común −2x-2x

−2x⋅[ (1+x2)2+2 (1−x2)(1+x2)  ]=0-2x \cdot [ (1+x^2)^2 + 2 (1-x^2)(1+x^2)    ] = 0

Tenemos una multiplicación que nos está dando cero, entonces las soluciones van a salir de igualar los factores a cero, como venimos haciendo en tantos ejercicios. Una solución ya la tenemos, x=0x = 0. Las otras quizás salgan de plantear:

 (1+x2)2+2 (1−x2)(1+x2) =0 (1+x^2)^2 + 2 (1-x^2)(1+x^2)  = 0

 2 (1−x2)(1+x2)=−(1+x2)2 2 (1-x^2)(1+x^2) = -(1+x^2)^2

2(1−x2)=−(1+x2)2 (1-x^2) = -(1+x^2)

2−2x2=−1−x22 - 2x^2 = -1 - x^2

3=x23 = x^2

∣x∣=3|x| = \sqrt{3}

Por lo tanto, las soluciones son x= 3x = \sqrt{3} y x=−3x = -\sqrt{3}

4) Dividimos la recta real en intervalos donde f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:

a) (−∞,−3)→f′′(x)<0→f(x) (-\infty, -\sqrt{3}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo
b) (−3,0)→f′′(x)>0→f(x) (-\sqrt{3}, 0) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba

c) (0,3)→f′′(x)<0→f(x) (0,\sqrt{3}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo
c) ( 3,+∞)→f′′(x)>0→f(x) ( \sqrt{3}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba.
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Sofia
26 de mayo 10:12
Hola! Tengo una consulta, cuando igualas a 0 y empezas a despejar, en un momento queda del otro lado del igual -(1+x^2)^2 y despues el exponente por fuera del parentesis se va y no entendi como
0 Responder
Flor
PROFE
26 de mayo 18:34
@Sofia Hola Sofi! Mirá, es por esto, ahi te puse el paso intermedio, avisame si lo ves :)

2024-05-26%2018:34:10_1645912.png
0 Responder
Sofia
26 de mayo 20:54
Holaa! Gracias ahora sii🤦🏻‍♀️
0 Responder